APOSTILA
DE
ESTATÍSTICA
ESTATÍSTICA
A Estatística é a aplicação de modelos
matemáticos nos diversos campos de atuação. Ela é essencial ao planejamento,
avaliação e interpretação de todos os dados obtidos em pesquisa em todas as
áreas. É fundamental à epidemiologia, à ecologia,
ao meio empresarial, à tecnologia e à medicina baseada em evidências, e também,
para analisar seres vivos ou fenômenos, em seu todo ou em parte, nas suas mais diversas
variáveis a serem estudadas, de acordo com as necessidades do profissional ou
da situação.
Para o
tratamento estatístico adequado a resultados confiáveis, o profissional deve
estar plenamente ciente do fenômeno no qual está sendo estudado (por exemplo:
pessoas com suas nacionalidades e hábitos e origem e número de um determinado
grupo).
A
análise estatística envolve habilidade numérica, portanto, operar com
calculadora científica para os cálculos e Excel para construção de gráficos é
de fundamental importância para o sucesso neste campo de trabalho, fazendo duas
casas após a vírgula e sem aproximação.
Um
outro conhecimento de grande importância é a operação matemática em nível
percentual para que seja possível estabelecer analogias numéricas das mais
diversas formas, fazendo assim, de forma dissertativa, uma análise comparativa
dos dados.
Percentual
1) A
representatividade percentual de um dado ou parte em relação ao todo, nada mais
é que a relação entre estas partes. Por exemplo: num grupo de vinte pessoas,
seis estão doentes, o que aponta um percentual de 30% de pessoas doentes, pois
vale a relação (6/20)x100.
A
multiplicação por 100 representa o tratamento percentual e é comum tecnicamente
trabalhar sempre com duas casas após a vírgula, sem qualquer arredondamento.
2) o
aumento e a redução percentual tem haver com o referencial e o procedimento
técnico de cálculo é tomar a diferença e dividi-la pelo valor referencial
(inicial) x 100.
Citamos
como exemplo um ser humano que come por dia 400g de um determinado alimento e
num período, passa a comer 680g do mesmo alimento. O aumento percentual é de
70% pois este resultado é fruto de: [(680 – 400) / 400] x 100. O mesmo
procedimento reporta-se à redução, vejamos: um ser humano está comendo 680g de
um determinado alimento, e num período passa a comer 400g o que indica que
houve uma redução da ordem de 41,17% ou seja, este cálculo é fruto da expressão
[(680 – 400) / 680] x 100.
Conceitos Preliminares
População: todos os componentes ou membros de um grupo;
Amostra: parte da população imposta pelo profissional; usada
quando se trabalha com muitos membros, mas é sabido que a amostra reduz a
precisão do tratamento estatístico;
Variável: objeto de estudo que pode ser quantitativa (numérico:
idade) ou qualitativa (qualidade: cor da pele);
Dado da Variável: registro individual ou grupal da variável em
estudo (3 anos, 4 anos, etc).
Coleta de Dados: mecanismo de registro que pode ser via de regra,
através de medição, observação, questionário e entrevista.
Tratamento Estatístico
Quando se pretende estabelecer um tratamento estatístico,
inicialmente coleta-se dados através de um mecanismo e registra-se de forma
aleatória os dados. A partir daí, os dados são formatados em ordem seqüencial
de grandeza, gerando assim o ROL.
Como exemplo:
- Registro aleatório: 3 – 3 – 2 – 4 – 6 – 5 – 7 – 5 – 8 – 5
- ROL: 2 – 3 – 3 – 4 – 5 – 5 – 5 – 6 – 7 – 8
A partir desse procedimento, é conveniente e tecnicamente
se faz, a colocação dos dados na “Tabela
de Distribuição de Freqüência” (TDF)
para dados individuais, que inicialmente é composta da seguinte forma em nível
de colunas:
|
Dado Variável (X)
|
F
|
Fa
|
Fr
|
X2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) → dado coletado da variável;
F → Freqüência (nº de vezes que o dado aparece);
Fa → Freqüência Acumulada (soma progressiva dos dados
da coluna anterior; serve para identificar a posição do dado no Rol);
Fr → Freqüência Relativa (relação
do dado com o todo (n) onde “n” indica o número total de dados, e é apresentada
de forma percentual (%).
X2 – dado numérico para cálculos posteriores.
Demonstrando o preenchimento da TDF segundo o exemplo
apresentado anteriormente, onde n = 10, teremos:
|
Dado Variável (x)
|
F
|
Fa
|
Fr
|
X2
|
|
2
|
1
|
1
|
10
|
4
|
|
3
|
2
|
3
|
20
|
18
|
|
4
|
1
|
4
|
10
|
16
|
|
5
|
3
|
7
|
30
|
75
|
|
6
|
1
|
8
|
10
|
36
|
|
7
|
1
|
9
|
10
|
49
|
|
8
|
1
|
10
|
10
|
64
|
- n é o somatório da coluna da Freqüência Acumulada;
- a Freqüência Relativa, o somatório deve ser igual a 100%; quando isto não acontece, deve-se acrescer um centésimo aos números, iniciando-se pelo menor e de forma progressiva, até atingir os 100%.
Dando seqüência ao trabalho estatístico, aqui denominado
de tratamento estatístico, é necessário iniciar os cálculos das “Medidas de Tendência Central” (MTC) que
são:
- Moda (Mo) → dado da variável estudada que possui a maior freqüência, ou seja, o que mais aparece (possui unidade); quando dois dados possuem freqüências maiores e iguais, estes são considerados e quando mais de dois dados estão nesta situação, o trabalho não possui Moda.
- Mediana (Me) → dado da variável que se posiciona-se de forma central, balanceando os demais dados que situam-se a esquerda e a direita desta; a mediana pode ser verificada pelo Rol ou na coluna da Fa (possui unidade).
O seu cálculo deve se ater à tecnicidade da
estatística da seguinte forma:
- quando “n” é ímpar, divide-se por dois e
acrescenta 0,5 para a identificação precisa da posição;
- quando n é par, divide-se por dois, registra o
valor que ocupa esta posição e soma-se com o valor da posição seguinte e o
resultado é a média aritmética dos dois.
- Média (Ma) → também denominada apenas por “Média”, é fruto do somatório de cada dado multiplicado por sua freqüência e finalmente dividindo-se pelo número total de dados “n” (possui unidade).
Tomando a tabela com os registros identificados para
exemplo, e fazendo os números como sendo o tempo de trabalho em anos dos
profissionais do grupo de dez, teremos:
- Moda = 5 anos
- Mediana = 5 anos
- Média = 4,8 anos
Exercício 1
Deseja-se conhecer o perfil,
no que se refere a idade (anos) e massa corporal (Kg) de cada elemento da turma
presente em sala de aula, envolvendo uma amostra de 80% dos presentes na data
da realização do trabalho estatístico, utilizando as MTC para efeito de
cálculos.
Continuando os estudos, o conjunto de medidas que
completam o tratamento estatístico de um determinado trabalho, é o das “Medidas de Dispersão” (MD), de vital
importância para uma radiografia completa a respeito do fenômeno estudado. Elas
são apresentadas da seguinte forma:
- Variância (V): valor que identifica a variação dos dados coletados em relação à Média; não possui unidade e o seu cálculo resulta da expressão:
V = [∑x2 – (∑x)2 / n] / n-1
- Desvio Padrão (Dp): valor que indica a regularidade dos dados coletados; “quanto menor o Desvio Padrão, maior a regularidade dos dados”; medida muito usada para proceder analogia entre dois ou mais grupos estudados; o seu valor é fruto da raiz quadrada da Variância e possui unidade.
Dp = Raiz quadrada da Variância
- Coeficiente de Variação (CV): valor que indica percentualmente o grau de importância ou até mesmo a preocupação para com a Variável estudada de um determinado grupo; seu valor resulta da relação entre o Desvio Padrão e a Média.
CV = (Dp / Ma) x 100 ►%
Nota: Amplitude
(A), é uma medida estatística e reporta-se aos dados de um trabalho estatístico, sendo resultado da diferença
entre o maior valor e o menor valor dos dados obtidos da coleta dos dados para
um trabalho estatístico.
Como aplicação, executando os cálculos tomando o exemplo
base, construído anteriormente, é conveniente recuperar a tabela construída,
onde uma nova coluna deverá aparecer para facilitar os cálculos, ficando assim:
|
Dado Variável (x)
|
F
|
Fa
|
Fr
|
X2
|
|
2
|
1
|
1
|
10
|
4
|
|
3
|
2
|
3
|
20
|
18
|
|
4
|
1
|
4
|
10
|
16
|
|
5
|
3
|
7
|
30
|
75
|
|
6
|
1
|
8
|
10
|
36
|
|
7
|
1
|
9
|
10
|
49
|
|
8
|
1
|
10
|
10
|
64
|
|
∑ = 48
|
|
|
|
∑ = 262
|
Aplicando os cálculos das MD, os resultados são:
- V = [262 – 230,4] / 9 = 3,51
- Dp = 1,87 anos
- CV = (1,87 / 4,8) x 100 = 38,95%
- A = 6 anos
Exercício 2
Com referência ao Exercício 1,
executar os cálculos estatísticos utilizando as Medidas de Dispersão (MD), para
efeito de análise.
Tabela de Distribuição de
Freqüência com Intervalos de Classe (TDF-IC)
Quando o estudo envolve muitos dados e estes possuem
valores bem próximos, é conveniente estabelecer um intervalo onde os dados estejam
contidos neste, fazendo com que o trabalho estatístico seja maximizado, embora
este modelo estatístico seja menos eficaz do que o trabalho que utiliza dados
individuais.
A dimensão do intervalo é de responsabilidade do
profissional, mas é uma evidência técnica que, quanto menor for a dimensão do
intervalo, maior será a precisão dos resultados obtidos.
Os intervalos deverão possuir a mesma dimensão sendo
somente o último, denominado de “intervalo de fechamento”, podendo ser menor ou
igual aos anteriores.
A TDF permanece idêntica à realizada com dados
individuais, alterando-se na primeira coluna, onde aparecem os intervalos com
simbologia específica. O “x” será a média simples entre os pontos extremos do
intervalo.
A simbologia de Intervalo com exemplos numéricos é: 4 →7
→ onde o 4 pertence e o 7 não pertence ao intervalo
e x = 5,5
A simbologia de Intervalo com exemplos numéricos é: 21↔23
→ onde ambos ( 21 e 23) pertencem ao intervalo e x =
22.
Exercício 3
Um profissional está
desenvolvendo um trabalho com um grupo de 90 trabalhadores, num determinado
período, verificando os tamanhos dos saltos dos calçados. Verificou e registrou
o seguinte:
1,8 – 1,2 – 1,6 – 1,8 – 1,9 –
2,0 – 1,3 – 1,4 – 1,6 – 1,8 – 1,7 – 1,6 – 1,4 – 1,3 – 1,8 - 1,4 – 1,6 – 1,8 – 2,0
– 1,2 – 2,2 – 2,4 – 1,8 – 1,6 – 2,2 – 1,2 – 1,4 – 1,7 – 2,5 – 2,4 - 1,4 – 1,6 –
1,6 – 1,8 – 1,9 – 2,0 – 2,3 – 2,4 – 1,6 – 1,8 – 1,7 – 1,6 – 2,4 – 1,3 – 1,8 -
1,2 – 2,2 – 2,6 – 1,4 – 1,6 – 2,1 – 2,3 – 2,4 – 1,6 – 1,8 – 1,7 – 1,6 – 1,4 –
1,3 – 1,7 - 1,6 – 2,2 – 1,6 – 1,8 – 1,9 – 2,1 – 2,3 – 2,4 – 1,6 – 1,8 – 1,6 –
1,6 – 2,4 – 1,4 – 1,5 - 1,5 – 1,4 – 1,3 – 1,8 – 1,9 – 2,2 – 2,9 – 1,4 – 2,6 –
1,8 – 1,7 – 1,6 – 1,4 – 1,3 – 2,8.
Solicita-se calcular as MTC e
MD.
Exercício 3.1
Um
profissional do meio ambiente está em atividade de pesquisa para o Estado onde
se localiza sua empresa, e está verificando o tamanho das minhocas (em mm), que
existem numa delimitada região, haja vista sua utilização pelos pescadores.
Trabalhando com uma equipe de profissionais e adotando o método da medição,
chegou aos resultados:
|
Exemplares
|
Tamanho
|
|
80
|
12
|
|
120
|
13
|
|
220
|
14
|
|
130
|
16
|
|
180
|
17
|
|
240
|
19
|
|
280
|
20
|
|
280
|
21
|
|
280
|
22
|
|
290
|
23
|
|
330
|
25
|
|
170
|
26
|
|
160
|
29
|
|
250
|
31
|
|
210
|
33
|
|
340
|
34
|
|
340
|
36
|
|
360
|
40
|
|
140
|
44
|
|
120
|
45
|
|
60
|
46
|
|
80
|
47
|
|
70
|
48
|
|
40
|
49
|
|
40
|
51
|
|
70
|
53
|
Montar a TDF com IC para os dados fornecidos e
calcular todas as medidas de TC e de Dispersão, para que se possa fazer uma
análise e conhecimento das minhocas daquela região delimitada, atendo-se à fiel
observância quanto à questão do meio ambiente.
Nota Importante:
Todo o trabalho de cálculo desenvolvido por um
profissional é denominado “Memorial
Descritivo” e deve ficar em seu poder para possíveis checagens e/ou
comprovações. O que realmente se entrega ou apenas se externa para o cliente
solicitante, é o resultado em forma de gráfico e o Relatório de Análise
Numérica.
Transporte de Variável
Qualitativa para Tratamento Quantitativo
Algumas Variáveis qualitativas podem receber tratamento
numérico e após este, serem tratadas como variáveis quantitativas, ampliando
assim, o campo de atuação do profissional.
Por exemplo, podemos citar a condição da montagem do
Questionário, onde o respondente diante de uma formulação estabelecida pelo
profissional, responde segundo o seu grau de visão ou satisfação, balizada numa
escala de 0 a 10 e para formulações que merecem “Sim e Não”, o zero significa
“não” e o dez significa “sim”. Não esquecer de registrar no questionário a
escala desejada.
Um exemplo de formulação constante no questionário é: “Seu
grau de satisfação para com a limpeza do ambiente”, onde o respondente
identifica o mesmo na escala de 0 a 10.
Exercícios
4) Um profissional deseja
verificar junto aos moradores de um determinado bairro de uma cidade, seu grau
de satisfação para com a limpeza das ruas do mesmo. Ele atribuiu (4) Muito Bom;
(3) Bom; (2) Satisfatório e (1) Ruim. Coletados os dados, ele chegou à seguinte
verificação dos dados: 30 responderam: Muito Bom; 44 responderam: Bom; 56
responderam: Satisfatório e 60 responderam: Ruim. Desenvolver o tratamento
estatístico calculando as MTC e MD.
5) O mesmo enunciado do
exercício anterior, mas as respostas foram balizadas na escala de 0 a 10 onde
os resultados dos questionários apontaram: 20 responderam grau 3; 30
responderam grau 6; 40 responderam grau 7; 50 responderam grau 8 e 50
responderam grau 5. Desenvolver o tratamento estatístico.
5.1)
Seis pessoas devidamente numeradas, foram selecionadas de acordo com a idade
evolutiva, dos 20 anos aos 50 anos (tabela) e foi verificado para cada uma
delas a sua massa corporal (kg) bem como o grau de satisfação para com o
salário profissional estabelecido pelo CRBio, na expectativa de levantar
estatisticamente o estado emocional e de vida do profissional. A tabela indica
os resultados coletados através do processo da entrevista.
- A pessoa nº 1 indicou os graus de satisfação para cada idade:
- Bom – bom – bom – ruim – ruim – ruim – satisfatório.
- A pessoa nº 2 indicou os graus de satisfação para cada idade:
- Muito bom – bom – bom – ruim – satisfatório – ruim – ruim.
- A pessoa nº 3 indicou os graus de satisfação para cada idade:
- Muito bom – satisfatório – bom – ruim – satisfatório – satisfatório – ruim.
- A pessoa nº 4 indicou os graus de satisfação para cada idade:
- Bom – bom – bom – ruim – ruim – ruim – satisfatório.
- A pessoa nº 5 indicou os graus de satisfação para cada idade:
- Bom – muito bom – muito bom – ruim – satisfatório – ruim – bom.
- A pessoa nº 6 indicou os graus de satisfação para cada idade:
- Bom – muito bom – muito bom – ruim – satisfatório – ruim – satisfatório.
Indicadores:
Muito Bom = 5
Bom =
4
Satisfatório
= 2
Ruim
= 1
|
Pessoa nº
|
Idade (anos)
|
|||||
|
|
20
|
25
|
30
|
40
|
45
|
50
|
|
|
Massa Corporal
(kg)
|
|||||
|
1
|
50
|
52
|
52
|
56
|
56
|
60
|
|
2
|
40
|
50
|
50
|
60
|
60
|
50
|
|
3
|
42
|
48
|
58
|
66
|
70
|
65
|
|
4
|
50
|
50
|
60
|
62
|
62
|
62
|
|
5
|
60
|
45
|
48
|
55
|
55
|
60
|
|
6
|
70
|
70
|
72
|
80
|
65
|
65
|
Tendo
em vista que o estudado é a Massa corporal e o Grau de satisfação para com o
salário, referente à cada pessoa. Determinar as Medidas de Tendência Central e
de Dispersão para cada Variável.
Proceder
as análises estatísticas.
Correlação
Quando para um determinado grupo que está sendo estudado,
duas variáveis estão sendo analisadas, é conveniente estabelecer a verificação
da existência de Correlação entre estas, consolidando o trabalho estatístico e
permitindo o procedimento de análises profissionais para tomadas de decisões.
A verificação da existência de Correlação entre duas
variáveis, tecnicamente se faz, identificando uma por X e a outra por Y. A
variável X não necessita seguir o padrão de Rol e a Y acompanha o seu par (não
separar o par de dados). Na inserção na TDF, os dados deverão estar
individualizados.
A existência de Correlação é verificada através do
Coeficiente de Correlação (CC) que possui fórmula específica e a existência
será identificada quando o resultado variar entre mais e menos 1,0 exclusive, e
diferente de zero.
CC = [∑xy –
(∑x. ∑y)/n] / [(∑x2 – (∑x)2/n).(∑y2 – (∑y)2/n)]1/2
Para a boa aplicação dessa fórmula, deve-se trabalhar com
uma tabela que possa auxiliar na conquista dos elementos a serem inseridos na
fórmula, que envolve:
|
X
|
Y
|
F
|
X2
|
Y2
|
X.Y
|
Exemplo:
Um profissional está analisando a idade (dias) e o nº de
filhos (und.) de um grupo de seis pessoas, atuantes em um setor de uma
determinada empresa e, após a coleta de dados, registrou:
Idade – X
Nº Filhos - Y
(x – y)
(25 – 2) (30 – 0) (30 – 2) (25 – 2) (25 – 2) (40 –
4)
|
X
|
Y
|
F
|
X2
|
Y2
|
XY
|
|
25
|
2
|
3
|
1875
|
12
|
150
|
|
30
|
0
|
1
|
900
|
0
|
0
|
|
30
|
2
|
1
|
900
|
4
|
60
|
|
40
|
4
|
1
|
1600
|
16
|
160
|
|
∑= 175
|
∑= 12
|
∑=6
|
∑= 5275
|
∑= 32
|
∑= 370
|
CC = 0,54 (existe correlação).
Exercício 5.2
Um
profissional da área administrativa do setor re roupas resolveu analisar junto
aos seus clientes, uma pesquisa para verificar concomitantemente o tamanho da
camisa (nº) e o índice de freqüência (X) em sua loja. Analisou junto a 30
clientes e obteve o seguinte resultado:
(2 –
2) (3 – 1) (5 – 6) (4 – 4) (4 – 2)
(4 –
8) (2 – 3) (5 – 4) (4 – 5) (4 – 2)
(2 –
2) (3 – 1) (5 – 6) (4 – 4) (4 – 2)
(4 –
8) (2 – 3) (5 – 4) (4 – 5) (4 – 2)
(2 –
2) (3 – 1) (5 – 6) (4 – 4) (4 – 2)
(4 –
8) (2 – 3) (5 – 4) (4 – 5) (4 – 2)
a) Tratar
estatisticamente cada variável;
b) Qual a situação
estudada que merece maior atenção?
c) Qual variável
estudada indica maior regularidade?
d) Verificar se
existe Correlação entre as variáveis;
Gráficos
Os resultados devem ser apresentados em forma de gráficos
e estes devem estar em harmonia com o Relatório de Análise Numérica. A escolha
do gráfico e do que apresentar é de fundamental importância e vem ao encontro
dos anseios e gostos do profissional ou do cliente que solicitou determinado
trabalho.
O gráfico deve conter cabeçalho de conter informações
técnicas e identificadoras a respeito do que se apresenta.
O eixo das abscissas (x) deve estar identificado e o eixo
das ordenadas (y) deve seguir o mesmo princípio.
Um gráfico de excelência, deve ser construído
utilizando-se recursos computacionais. Para isto, é conveniente usar os
recursos do software “Excel”.
Cabe lembrar que usar cores em gráficos exigirá
permanente coloração, pois caso seja xerocopiado de forma simples, a coloração
transforma-se em preto e branco e a legenda constante no gráfico perde seu
efeito.
Exercício 6
Um profissional está
realizando um trabalho para um laboratório, onde ele está analisando dois
grupos de frutas. O primeiro grupo é composto de 4 frutas e o grupo 2 é
composto de 6 frutas, onde está sendo estudado sua idade (dias) e o seu
diâmetro (mm).
Ele necessita estabelecer
condições satisfatórias para uma análise estatística, e para tanto, deverá
calcular:
a) As MTC
b) As MD
c) Esboço de gráfico
representativo
d) Verificação da existência
de Correlação.
Exercício 7
Apresentar os resultados dos
Exercícios 2 e 3 em forma de gráfico, fazendo das informações identificadoras
que devem estar contidas, totalmente fictícias (a critério do acadêmico). O
trabalho deverá ser gravado em CD (único para a turma), constando identificação
nominal em letras versais.
Este exercício é em dupla.
Teste do Qui-Quadrado (K2)
Muitas vezes o profissional toma decisões em relação à
população ou a amostra e externa os resultados numéricos. Visto isto, é
necessário aderir ao resultado apresentado, uma margem percentual de segurança.
A margem de segurança para mais e para menos, tornando o
resultado apresentado mais confiável, é executado através do teste do
qui-quadrado de forma reduzida, ou seja, calculando desta forma:
K2 = (A2 – n) / (n2
. A)
Onde A é a Amplitude; n é o número de dados
analisados.
Cabe ressaltar que este teste de confiabilidade variável
só tem expressividade quando não ultrapassa os 7% (sete pontos percentuais para
mais e para manos). Caso ultrapasse este percentual, o trabalho pode estar
comprometido e merece ser reavaliado.
Exercício 8
Para e exercício proposto de
nº 1, verificar a margem percentual de segurança através do teste do
qui-quadrado (K2).
Teste t
As vezes é preciso comparar duas populações, por exemplo,
um pesquisador obteve, para um grande número de crianças, a idade em que cada
uma delas começou a falar. Para verificar se meninos ou meninas aprendem a
falar na mesma idade, o pesquisador terá que comparar os dados dos dois sexos.
Outras vezes, é necessário comparar condições
experimentais, por exemplo, para saber se um tratamento tem efeito, organizam-se
dois grupos de unidades: um grupo recebe o tratamento em teste (grupo tratado)
enquanto o outro grupo não recebe o tratamento (grupo controle), onde o efeito
do tratamento é dado pela comparação dos dois grupos.
. Primeiro estabelece-se o nível de significância α que
será padronizado como 5%;
. Segundo, calculam-se as médias dos dois grupos X1
e X2 ;
. Em seguida, a Variância Ponderada, de cada grupo V1
e V2;
O cálculo da Variância ponderada geral é:
V = [(n1 – 1). V12) + (n2
-1).V22] / (n1 + n2 – 2)
n = número de dados do grupo.
. Finalmente o valor do teste t é definido por:
t = (X2 – X1) / [V.(1/n1 +
1/n2)]1/2
Exemplo aplicativo
Para verificar se duas dietas para emagrecer são
igualmente eficientes, um profissional separou, ao acaso, um conjunto de pacientes
em dois grupos. Cada paciente seguiu a dieta designada para seu grupo.
Decorrido certo tempo, o profissional obteve a perda de peso (Kg) de cada
paciente de cada grupo, onde os dados são apresentados a seguir:
Perda de peso segundo a dieta
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Dieta 1
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Dieta 2
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12
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15
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8
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19
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15
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15
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13
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12
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10
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13
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12
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16
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14
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15
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11
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12
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13
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As médias são:
X1 = 12
X2 = 15
Significância é α = 5%
A Variância de cada grupo é:
V1 = [1476 – (120)2 / 10] / 9
= 4
V2 = [1605 – (105)2 / 7] / 6
= 5
A Variância Ponderada é V = (9 . 4 + 6 . 5) / (9+6)
= 4,4
O valor de t = (15 – 12) / [4,4.(1/10 + 1/7)]1/2
= 2,90 que é menor que 5% dando confiabilidade ao estudo, e, concluindo que a
perda de peso é maior quando submetidos à dieta 2, observado pela média de perdas de peso mas com
a devida confiabilidade dos cálculos.
Exercício 9
Verificar através da
realização do teste t a confiabilidade
referente ao exercício 1..
Relatório de Análise Numérica
No Relatório, que possui a identidade crítica e criativa
do executor profissional, deve constar os seguintes fatos técnicos (digitado e
impresso em papel A4 ou gravado em CD para entrega):
- Parágrafo primeiro apresentando o Relatório, ou seja, identificando o autor, a que se reporta tal trabalho e como foram procedidos os trabalhos e cálculos;
- Parágrafo seguinte registrando os resultados das Medidas calculadas;
- Parágrafo adiante, registrando segundo seu critério, as diferenças ou relações percentuais entre os resultados das medidas de um grupo e quando houver mais de um grupo, estabelecer relações percentuais entre as medidas de ambos;
- quando solicitado, esboçar considerações dissertativas
em níveis conclusivos, mediante os resultados obtidos.
Exercício 10
Delinear o Relatório de
Análise Numérica pertinentes aos resultados encontrados nos exercícios 1 e 2
fazendo no mínimo 8 analogias percentuais.
Exercício 11
Um profissional desenvolveu um trabalho, referente
aos membros da comunidade de um pequeno município chamado Vaca Dourada, de
30.000 habitantes, onde o objeto de estudo o número de vezes que as pessoas
fizeram uso de medicamento contra gripe, no ano de 2005. Registrou-se o
seguinte:
1180 pessoas não fizeram uso de medicamento;
1320 pessoas fizeram uso duas vezes;
1200 pessoas fizeram uso três vezes;
900 pessoas fizeram uso cinco vezes;
1800 pessoas fizeram uso sete vezes;
Pede-se:
a)
A Tabela de Distribuição de Freqüência;
b)
O percentual da amostra;
c)
As Medidas de Tendência Central;
d)
As Medidas de Dispersão;
e)
O Relatório de Análise Numérica.
Regressão
Muitas vezes interessa estudar o comportamento conjunto
de duas variáveis, como mostra a Correlação, outras vezes, interessa estudar
como uma variável varia em função da outra. Por exemplo, considerando a questão
da idade e peso de animais, deverá existir interessa em estudar como o peso
varia em função da idade.
Quando se estuda a variação de uma variável Y em função
de uma variável X, diz-se que Y é a variável dependente e que X é a variável
explanatória, indicando que o peso é a variável dependente da idade.
A Regressão fica bem entendida quando se esboça o gráfico
de dispersão com os dados coordenados no plano cartesiano. O primeiro ponto
será ligado ao último ponto do gráfico e uma reta será traçada. As variações
tomadas como referencial a reta, definirão as variações existentes.
Quando se deseja ajustar a angulação da reta,
independente do primeiro e do último pontos, o Coeficiente Angular deverá ser
calculado, mas este procedimento está em extinção, haja vista que a alteração é
insignificante.
Uma outra estratégia de traçado da reta referencial para
visualização analítica das variações, porém com menor precisão mas aceitável
estatisticamente, é a reta nascer da origem dos eixos, numa angulação de 45º.
Observe que os traçados são executados sempre no gráfico de dispersão.
Profissionalmente, o gráfico de dispersão traçado, com os
registros precisamente coordenados, permite prever o fenômeno, sem que haja a
necessidade do traçado da reta de regressão, mas isto exige maestria na
interpretação do gráfico.
Probabilidade
A probabilidade (P) é um ramo da ciência exata, que
permite ao profissional, ter uma visão das possíveis ocorrências sobre o que
está sendo analisado, haja vista que se trata de cálculos que objetivam
espelhar os supostos fatos.
As inferências são de extrema importância para uma
projetiva do fenômeno, que deve ser plenamente conhecido, objetivando tomadas
de decisões, fruto dos resultados obtidos. A Probabilidade envolve aspectos
diversos, mas para a plena atuação prática do profissional, deve-se saber que:
Probabilidade Simples
Ø é a relação entre o que se deseja e o todo do
fenômeno.
Ex: uma caixa possui três insetos de cores
diferentes, a P de numa retirada sair um animal de uma determinada cor é 1/3.
Probabilidade Condicional
Ø é probabilidade de um determinado evento,
condicionado a parâmetros pré-estabelecidos.
Ex: Jogado um dado, a P de sair o nº 5 sabendo-se
previamente que saiu número ímpar é 1/3.
Eventos Independentes
Ø é a condição probabilística no qual um evento
estudado nada tem haver com o evento concomitante.
Ex: Um dado e uma moeda são jogados ao mesmo tempo,
a P de sair cara na moeda nada tem haver com a face do dado.
Teorema do Produto
Ø é o estudo probabilístico no qual dois fenômenos
estão implicitamente ligados e a tônica do estudo é analisar a ocorrência de um
“e” do outro evento.
Ex: Numa caixa onde existem quatro animais, dois
escuros e dois claros,quando de duas retiradas seguidas sem reposição, a P de
saírem animais de cor escura é 1/4 x 1/3.
Teorema da Soma
Ø é o estudo probabilístico no qual dois fenômenos
estão implicitamente ligados e a tônica do estudo é analisar a ocorrência de um
“ou” do outro evento.
Ex: Joga-se dois dados e verifica-se a P de sair
uma face 2 ou uma face 5, então, a P é 1/6 + 1/6 = 2/3.
Exercícios
12) Um profissional está
numa atividade laboratorial onde existem cinco insetos de mesma espécie dentro
de uma caixa vedada. Dos cinco insetos, dois são de cor clara, dois são de cor
escura e um de cor mesclada. O profissional, ao proceder as retiradas da
caixa, conforme enunciado a seguir, quer saber a probabilidade de:
a) numa segunda retirada o inseto ser de cor clara,
sendo que na primeira foi de cor escura (sem reposição);
b) retirar o inseto de cor mesclada na
terceira retirada, sendo que nas duas primeiras, saíram os de cor escura (sem
reposição);
c) na primeira retirada, sair o inseto de cor
mesclada;
d) em três retiradas, sair o inseto de cor
mesclada, sendo que em cada retirada houve reposição;
e) na segunda retirada, com reposição, sair um de
cor escura, dado que na primeira retirada é sabido que saiu de cor clara.
13) Uma carta é retirada ao acaso de um baralho.
Qual a probabilidade de sair uma carta de ouros ou uma dama?
13.1) Duas cartas são retiradas simultaneamente de
um baralho e deseja-se saber a Probabilidade de terem saído uma carta de ouros
e uma de paus.
14) Um casal tem três filhos. Qual a probabilidade
de:
a) o
primogênito ser homem;
b) o
segundo filho ser homem;
c) o
terceiro filho ser homem, dado que o primeiro é homem;
d) os três
filhos serem homens;
e) dois
filhos serem do sexo feminino;
f) pelo
menos um dos filhos ser do sexo feminino.
15) Um profissional de uma empresa, é brindado com
um teste e com direito ao ganho do prêmio a ser retirado, pois o mesmo atuou de
forma exemplar na preservação de nosso meio ambiente. Trata-se de um baú onde
estão oito envelopes onde três contém notas de 5 reais, dois contém notas de
100 reais, um contém cheque de 1000 reais e dois contém cheque de 5000 reais.
Qual a probabilidade de:
a) numa segunda retirada, sem reposição, sair o
envelope contendo 5000 reais, sendo que na primeira retirada saiu o envelope
contendo 1000 reais;
b) numa retirada de dois
envelopes ao mesmo tempo, sair o envelope contendo 100 reais ou o contendo 5000
reais;
c) numa terceira retirada
sair o envelope contendo 5 reais, sendo que na primeira saiu o de 1000 reais e
foi reposto e na segunda saiu o de 5000 reais e não houve reposição.
Prof. Dr. Eric Ricardo Calhau de Castro
- Graduado em Engenheira Civil – Eng. de Produção – Matemática - Administração
- Pós-Doutor em Administração de Negócios
- Doutor em Administração
- Mestre em Administração Educacional Superior
- Especialista em Docência Superior
e-mail:
eric.fasf@uol.com.br
site:
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